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共邊共角型相同三角形（父子三角形）的定義及基本性質(zhì)

三個(gè)角分別相等，三邊成比列的兩個(gè)三角形稱作相同三角形。本文介紹的共邊共角型相同三角形（父子三角形）是一種特殊的重要的相同三角形模型，熟悉并記住該模型及其相關(guān)推論對(duì)中學(xué)幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)具備挺好的借鑒價(jià)值。

一、定義：如圖1，三角形ABC與三角形ACD有一條公共邊AC和一個(gè)公共角∠A，那樣的兩個(gè)三角形稱作共邊共角三角形。假如兩個(gè)三角形又有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等（∠ABC=∠ACD），則兩個(gè)三角形相近，這么那樣的兩個(gè)三角形稱為共邊共角型相同三角形。這兩個(gè)三角形互相相同，因?yàn)樾∪切蜛CD亦即大三角形ABC中，仿似子依母懷，又小三角形與大三角形互相相同，如同父子形似，故形象地稱為“母子三角形”。

二、性質(zhì)定律：我們可以將“母子三角形”分為普通“母子三角形”和直角“母子三角形”。

1.普通“母子三角形”為精典“母子三角形”（圖1），△ABC∽△ACD，三角形對(duì)應(yīng)邊成比列，可得出如下推論：

①線段平方：AC2=AD·AB與三角形有關(guān)的線段，即公共邊是夾公共角的另一條對(duì)應(yīng)邊的比列中項(xiàng)。

②比值：AD/AB=CD2/BC2，由于S△ACD/△ABC=AD/AB（兩三角形高相等），相同三角形面積比又等于相同比的平方，CD/BC為△ACD和△ABC的相同比。

③其他等積式：AC·CD=AD·BC；AC·BC=AB·CD。

以上推論通常不能在幾何題中直接使用，應(yīng)當(dāng)先證明三角形相近。遇見(jiàn)改錯(cuò)題時(shí)假如就能靈活應(yīng)用，則可以提高解題效率。

2.直角“母子三角形”是共邊共角型相同三角形的特殊方式，其所得推論即為射影定律的推論與三角形有關(guān)的線段，圖形特性就是直角三角形及其底邊上的高所組成的三個(gè)兩兩相似的直角三角形，其中包含的線段關(guān)系也可用下述方程表示（圖2）。

線段平方：AB2=AH·AC；BC2=HC·AC；BH2=AH·HC，此即射影定律的三個(gè)精典公式。何謂射影，就是正投影。直角三角形射影定律（又叫歐幾里德定律）可詳述為：直角三角形中，底邊上的高是兩直角邊在底邊上射影的比列中項(xiàng)；每一條直角邊是這條直角邊在底邊上的射影和底邊的比列中項(xiàng)。比值：AH/AC=BH2/BC2；CH/CA=BH2/AB2；AH/HC=AB2/BC2；

1/AB2+1/BC2=1/BH2，將上述線段平方值代入即可證明。

3.其他等積式：AB·BC=AC·BH；AB·BH=BC·AH；AB·HC=BC·BH。

熟悉了共邊共角型相同三角形（父子三角形）的定義及基本性質(zhì)后，遇見(jiàn)證明某線段的平方等于另兩條線段的積時(shí)，聯(lián)想到該模型能及時(shí)找到解題思路而迅速解題。