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1. 行列式的性質(zhì) 2. 倒序行列式的定義（第二定義） 1. 排列和倒序

由 n 個數(shù)字 1,2,...,n 組成的有序數(shù)組稱為 n 層排列。例如23145是5級排列，41352也是5級排列。有n個！ n 級安排。逆序 在 n 級排列 i_1i_2\cdots i_s\cdots i_t\cdots i_n 中，如果 i_s>i_t，且 i_s 排在 i_t 前面逆序數(shù)在行列式的意義逆序數(shù)在行列式的意義，則稱這兩個數(shù)字形成逆序。在逆序數(shù)排列中，逆序總數(shù)稱為排列的逆數(shù)，記為\tau(i_1i_2\cdots i_n)，如\tau(231546)=3,\tau(621534)= 8.從小到大的排列稱為自然排序。比如12345，顯然自然排序的倒數(shù)就是0。

奇數(shù)排列和偶數(shù)排列 當(dāng)排列的相反數(shù)為奇數(shù)時，該排列稱為奇數(shù)排列；當(dāng)排列的倒數(shù)為偶數(shù)時，該排列稱為偶排列。

2. n階行列式的定義

n(n\geq2) 階行列式

$$

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_ {n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} =\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{ nj_n}

$$

這里 \sum_{j_1j_2\cdots j_n} 表示所有n列下標(biāo)的和，所以它是n的和！項目。請注意，行下標(biāo)已按順序排列，列下標(biāo)是任意 n 層排列，因此每個項目都由取自不同行和不同列的 n 個元素的乘積組成。每一項的正負(fù)號取決于 (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}。當(dāng)列下標(biāo)為奇數(shù)排列時，應(yīng)附加負(fù)號；當(dāng)列下標(biāo)為偶數(shù)排列時貝語網(wǎng)校，應(yīng)追加“exact”。

【筆記】

指定一階行列式 |a_{11}=a_{11}|

例如：請確認(rèn)擴(kuò)展項“a_{12}a_{31}a_{54}a_{43}a_{25}”前的正負(fù)號。答：首先將行下標(biāo)排序為a_{12 }a_{25}a_{31}a_{43}a_{54}，然后計算\tau(25134)=4，是偶數(shù)排列，所以有該術(shù)語前面有一個積極的信號。

正確的