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一

微積分的本質(zhì)是哪些？我給自己設(shè)定的要求是本段沒有一個(gè)公式，但是學(xué)生都能聽得懂。

求一個(gè)直角三角形的高，可以通過底長和傾角來推斷，但若果三角形是一個(gè)曲邊的呢？再用加角和斜邊兒推測(cè)都會(huì)形成巨大的偏差。

那該如何辦呢？不妨曲邊三角形分成三段，產(chǎn)生三個(gè)紅色直角三角形的，再通過他們傾角和底長推斷數(shù)三個(gè)小高度，這三個(gè)小高度就稱作“微分”。

之后，將這三個(gè)微分累積上去，就稱作“積分”，這個(gè)積分就是我們所求的曲邊三角形的高度。

問題來了，這三個(gè)紅色直角三角形的高度，雖然是高于實(shí)際高度的，會(huì)有一個(gè)黑色的小偏差。

怎樣將這個(gè)偏差清除呢？假如分成更多段，產(chǎn)生更多的白色直角三角形，這么這個(gè)綠色的偏差都會(huì)迅速縮小。

假如分成無窮多段，產(chǎn)生無窮多個(gè)紅色直角三角形，那這個(gè)綠色的小偏差都會(huì)消失。

因此說微積分的本質(zhì)就是：通過無窮小來求總和。

這算不算史上最容易理解的微積分掃盲？

二

微積分的籌謀是在17世紀(jì)上半葉到17世紀(jì)末這半個(gè)世紀(jì)。

1608年伽利略第一架望遠(yuǎn)鏡的制成，除了造成了人們對(duì)天文學(xué)研究的高潮，并且還促進(jìn)了光學(xué)的研究。

開普勒通過觀測(cè)歸納出三條星體運(yùn)動(dòng)定理：

（1）星體運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線的，太陽坐落該拋物線的一個(gè)焦點(diǎn)上。

（2）由太陽到星體的焦直徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。

（3）星體繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方，與其拋物線軌道的半長軸的立方成反比。

最后一條定理是在1619年發(fā)布的，而從物理上的推證開普勒的經(jīng)驗(yàn)定理，成為那時(shí)自然科學(xué)的中心課題之一。1638年伽利略《關(guān)于兩門新科學(xué)的對(duì)話》出版，為動(dòng)力學(xué)夯實(shí)了基礎(chǔ)，促使人們開始對(duì)動(dòng)力學(xué)概念與定律做出準(zhǔn)確的物理描述。望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計(jì)須要確定透鏡曲面上任一點(diǎn)的法線和求曲線的切線，而火炮的最大射速和求星體的軌道的近期點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)等牽涉函數(shù)最大值、最小值等問題；而求曲線所圍成的面積、曲線長、重心和引力估算也迸發(fā)了人們的興趣。

在17世紀(jì)中葉，幾乎所有的科學(xué)前輩都旨在于未解決這種窘境而尋找一種新的物理工具。正是為解決很多疑難問題，一門新的學(xué)科——微積分應(yīng)運(yùn)而生。

微積分的成立，歸納為處理以下幾類問題：

（1）已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程和時(shí)間的關(guān)系高中微積分公式，求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速率和加快度；反之，已知加快度與速率，求任意時(shí)刻速率和路程。

（2）求曲線的切線，這是純幾何問題，但對(duì)科學(xué)應(yīng)用具備重大意義，如透鏡的設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)軌跡上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向（即該點(diǎn)切線方向）等。

（3）求函數(shù)最大值、最小值，上面提及彈道射速問題、近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)等問題都屬于這一類問題。

（4）求積問題，包括求曲線長、曲線所圍面積、曲面所圍容積等。

而這種問題的解決，原有的早已無能為力了，只有當(dāng)變量引入英語，能描述運(yùn)動(dòng)過程的物理新工具——微積分的成立后，這種窘境才得以解決。其中最重要的是速率和距離以及曲線的切線和曲線下的面積這兩類問題。正是為了解決這兩類問題，才有了牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)自創(chuàng)立了微積分。

三

說到微積分，我認(rèn)為這是我們接近世界本質(zhì)，所邁出的第一步。

為何這樣說呢？由于，假若物理還逗留在算個(gè)橫平豎直、矩形三角的面積的話，這么離應(yīng)用真的是差太遠(yuǎn)了。

英語是哪些？

一個(gè)工具，假如說化學(xué)是在探究這個(gè)世界的一些規(guī)律和原理的話，這么英語就是數(shù)學(xué)的語言。

如若沒有微積分，這個(gè)語言就幾乎喪失了價(jià)值。這個(gè)世界似乎沒有這么多棱角，連隨意一塊石頭，都有風(fēng)、水和時(shí)光的侵蝕，來把棱角拋光。這么微積分就是打開了通向這個(gè)“圓滑”的世界的正門；除此此外高中微積分公式，這個(gè)世界還是多變的，即使說“你不或許進(jìn)入同一條支流兩次”這樣的觀點(diǎn)太唯心，而且正是那樣的思想告訴了我們一個(gè)道理：

這個(gè)世界變化太快。

而微積分給了我們?nèi)ジ献兓馁Y本。

萬變不離其宗，你如何變，我都可以去積分積下來。

用文學(xué)的視角看：

積分是見到了量變形成的質(zhì)變。

微分是放大非但的變化，讓你不被任何一個(gè)“平滑掉”的數(shù)據(jù)，欺騙眼睛。

微積分，讓我們有或許認(rèn)清世界。

四

微分和積分的本質(zhì)應(yīng)當(dāng)合上去講，才有或許淺顯易懂；要是分開來講，反倒變具象了。

我們不妨以事物在時(shí)間中形成變化為例。積分相當(dāng)然后指事物經(jīng)歷時(shí)間后形成的總變化量，微分則相當(dāng)于指事物在每一個(gè)一瞬的微小變化量。因而，積分其實(shí)是由微分累積而成的。因此這個(gè)道理原來也是一個(gè)十分簡略的常識(shí)，可以歸納為一句話：

一段時(shí)間的總變化量，是由這段時(shí)間中的每位一瞬的變化量累積而成的！

這是不是簡略到跟屁話沒有區(qū)別？的確就是這樣簡略。

我們將總變化量切分成一份一份（由時(shí)間來評(píng)判的話，就是一霎那一霎那）的變化量的過程稱作微分；而將一份一份的變化量累積出總變化量的過程稱作積分。

我們要非常留意到，這兒有一個(gè)難點(diǎn)：

然而，我們就應(yīng)當(dāng)能找到方法來估算每一份微分，于是能通過微分來估算積分。這就是微積分所要完成的總?cè)蝿?wù)。

微積分的本質(zhì)，事實(shí)上徹底展現(xiàn)在一個(gè)英語公式，被稱為“微積分基本定律”，又稱為“牛頓-萊布尼茲公式”：

這個(gè)公式假如才能理解的話，也許就等于徹底理解了微積分思想的全部。剩下的就僅僅對(duì)微分與積分規(guī)則的技術(shù)性把握了。倘若是談本質(zhì)，我們這兒就不談技術(shù)性問題了。

這個(gè)公式牽涉到兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)是f(x)，一個(gè)是F(x)。至于哪些是函數(shù)，不懂的話得自己去自學(xué)，雖然這屬于初小學(xué)的知識(shí)，否則得淺顯到從學(xué)校講起了。

在這個(gè)公式中，F(xiàn)(x)可稱為f(x)的一個(gè)原函數(shù)或則不定積分。F(x)在x點(diǎn)上的變化量，也即在x點(diǎn)時(shí)的微分，我們標(biāo)記為dF(x)；它是在x點(diǎn)的變化率也即f(x)與該點(diǎn)發(fā)生的微小變化量dx的相乘，也即dF(x)＝f(x)dx。因此f(x)＝dF(x)/dx，所以f(x)又稱為F(x)的行列式函數(shù)。

假定有一個(gè)事物在運(yùn)動(dòng)，我們不妨將函數(shù)f(x)理解為記錄該事物的速率關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，而將F(x)理解為該事物的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。然后dF(x)＝f(x)dx的意思也許是指x剎當(dāng)時(shí)的微小位移量，等于x剎當(dāng)時(shí)的速度與該剎當(dāng)時(shí)間的相乘。

假如初始時(shí)刻是a，而末了時(shí)刻是b，則時(shí)間的自變量x就從a變化到了b。然后F(b)－F(a)雖然就是指從時(shí)刻a到時(shí)刻b，事物的位移量，也即f(x)在這個(gè)時(shí)間段的定積分。它是如何估算下來的呢？它是從時(shí)刻a到時(shí)刻b的每一份微小位移（微分）累積而成的總位移量(積分)。

明白了上述道理后，我們會(huì)發(fā)覺，假如我們把握了估算微分以及積分的基本規(guī)則，我們也就有方法估算變化率不均勻事物在運(yùn)動(dòng)變化中的頓時(shí)變化率(值域)，頓時(shí)變化量(微分）以及積累的總變化量(積分）的根本方法。這似乎就格外對(duì)應(yīng)現(xiàn)實(shí)世界了。

END

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