更新時間：2025-10-24 20:14:48作者：佚名
針對圓錐曲線，這里特指橢圓、雙曲線、拋物線，從其定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程著手，怎樣去進行推導(dǎo)跟焦點相關(guān)的焦半徑公式，還有焦點弦長公式以及其相關(guān)的結(jié)論，然后進一步去加以應(yīng)用。
本文不作特別說明，橢圓、雙曲線、拋物線都是針對焦點在
軸上標(biāo)準(zhǔn)方程(其中拋物線考慮標(biāo)準(zhǔn)方程
分別為橢圓或雙曲線的左、右焦點，
是拋物線的焦點，
它是對應(yīng)那個圓錐曲線上的一點，全部的公式推導(dǎo)都拿橢圓方程當(dāng)例子，并且優(yōu)先去考慮左焦點對應(yīng)的那些相關(guān)公式，雙曲線能夠完全依照橢圓的推導(dǎo)過程得出，特殊情形會另外給出說明。
焦半徑指的是圓錐曲線上任意一點跟焦點的連線段，對于橢圓上的任意一點而言，都對應(yīng)著兩條焦半徑，對于雙曲線上的任意一點來說，同樣對應(yīng)兩條焦半徑，對于拋物線上的任意一點來講，焦半徑是唯一存在的。
是橢圓上任意一點，則有
從而焦半徑
，所以
其中e為橢圓的離心率.
實際上，于橢圓定義推導(dǎo)橢圓方程進程里，已然出現(xiàn)此式子，進行設(shè)定
滿足
分子有理化得
于是有
(1)(2)兩式相加得
升量慧，363e元，有4aad，西途ca5c，科智公，東軟技件，優(yōu)廣e98b6d3b，點學(xué)量司，限e228，網(wǎng)。
即為橢圓上一點
到橢圓左焦點的距離.
于是我們得到橢圓的焦半徑公式(I)：
同理有雙曲線的焦半徑公式(I)：
當(dāng)點處于雙曲線的不一樣的支上時，絕對值當(dāng)中式子的正或者負，大家能夠自行去討論.
拋物線的焦半徑公式可以直接由拋物線的定義得到，即
例1 橢圓
的右焦點為F，直線
與x軸相交的點是A，于橢圓之上存在著點P，此點P能使得線段AP的垂直平分線經(jīng)過點F，那么橢圓離心率的取值范圍是____.
正確答案是
解 設(shè)
，則有
，即
解得
又因為
，所以有
兩邊同除a可解得
根據(jù)橢圓的焦半徑公式(I)可知，要是知道橢圓上一點的橫坐標(biāo)，那么就能夠很輕易地求出橢圓的焦半徑長，然而有的時候，我們所知曉的并非橫坐標(biāo)的值，而是焦半徑跟x軸形成的角度，此時我們能夠依據(jù)上面的焦半徑公式(I)著手去推導(dǎo)由焦半徑與x軸正半軸所成的角。
對應(yīng)的焦半徑公式.
設(shè)PF與x軸正半軸形成的角度為
，則有
整理得
，于是有
學(xué)司于心量，方心優(yōu)慧，363e有，4aad西，ade0限，e228學(xué)，4d65軟，97c3科，智件b8a0，東升量廣，e98b6d3b點，公ee93途，ca5c元技網(wǎng)
解得
同理可以推得右焦點對應(yīng)的焦半徑公式
其中，
是焦半徑
與x軸正半軸形成的角，要注意，同一個點，該點與左焦點連線形成的焦半徑，和該點與右焦點連線形成的焦半徑，這兩條焦半徑與x軸正半軸所成的角并非同一個角，這是和焦半徑公式(I)差異明顯不同的地方，如圖：
于是我們得到橢圓的焦半徑公式(II)：
其中
為焦半徑
與x軸正半軸所成的角.
對于雙曲線而言，能與橢圓類似得出雙曲線的焦半徑公式（II），要明白，當(dāng)雙曲線上的點處于雙曲線不同支時，焦半徑公式（I）里絕對值的正負情況不一樣需分別討論，雙曲線的焦半徑公式（II）為：
當(dāng)P在雙曲線的左支時，有
當(dāng)P在雙曲線的右支時，有
其中
為焦半徑
與x軸正半軸所成的角.
拋物線的焦半徑公式為：
其中
為焦半徑PF與x軸正半軸所成的角.
橢圓的焦半徑公式(II)有兩個常用的推論：
推論1 橢圓的焦點弦長公式：
該序列內(nèi)容混亂無特定邏輯，無法進行條理清晰拆解改寫，建議提供更有意義的句子以便準(zhǔn)確改寫 。但按照要求盡量拆分可為：網(wǎng)學(xué)量心方優(yōu)心科智，fd39方慧，363e件b8a0升量術(shù)技，東公ee93有4aad西ade0827536a01159途ca5c智元司限e228學(xué)4d65廣e98b6d3b點-e462軟97c3 。
其中AB為橢圓的焦點弦，AB的傾斜角為
圓錐曲線的焦點弦，是指過某一個焦點的直線，與該圓錐曲線相交后，所得到的兩個交點之間的線段，當(dāng)這個弦和x軸，也就是橢圓的長軸，或者雙曲線的實軸垂直時，所得到的弦，我們把它稱作通徑，由于焦半徑公式（II）是和角度有關(guān)系的公式，所以我們能夠很容易地從它得出橢圓的焦點弦長公式。
證明 設(shè)AB是過橢圓左焦點F的焦點弦，AB的傾斜角為
，不妨設(shè)A點在x軸上方，如圖：
由焦半徑公式(II)知
于是
這便是橢圓的焦點弦長公式，能夠輕易知曉，針對于經(jīng)過橢圓右焦點的弦而言，此公式同樣是適用的。
事實上，對于雙曲線，同樣有推論1，即雙曲線的焦點弦長公式：
其中AB為雙曲線的焦點弦，AB的傾斜角為
不管A、B兩點處于雙曲線的同一分支之上，還是處于雙曲線的不同分支之上，這個公式都是成立的，只是絕對值里面的式子，其正負情況是有所不同的。
拋物線的焦點弦長公式更為簡單，即
其中AB是拋物線的焦點弦，AB的傾斜角為
例2 橢圓
M為橢圓上不同的點，N為橢圓上不同的點，P為橢圓上不同的點貝語網(wǎng)校，Q為橢圓上不同的點，MN不和x軸垂直，PQ不和x軸垂直，MN分別過某點，PQ分別過某點。
，求證：
為定值.
解 設(shè)PQ的傾斜角為
，則MN的傾斜角為
，則由焦點弦長公式知
所以
-e462，法有，4aad，西ade0827536a01159，網(wǎng)徑科智，fd39，方件b8a0，公ee93811d7961，司學(xué)量心方慧，363eaaf0，升量術(shù)技軟，97c3，廣e98b6d3b，點途ca?c，智493a傾斜角公式，元東優(yōu)心限，e228，學(xué)4d65。
為定值.
推論2，橢圓存在焦點弦，該焦點弦會被焦點進行分割，分割出兩段線段，這兩段線段長度存在調(diào)和平均數(shù)，此調(diào)和平均數(shù)是一個固定的值，也就是說，焦半徑的倒數(shù)相加的和是一個固定的值 。
證明 由焦半徑公式(I)知
于是我們知道
的調(diào)和平均數(shù)為定值，即
這個定值就是半通徑長
，由均值不等式易知橢圓的所有焦點弦中，通徑長最短.
備注1，橢圓的焦半徑公式（I），是從橢圓的第一定義，向第二定義過渡的重要橋梁，能夠通過橢圓的焦半徑公式（I），去發(fā)掘橢圓的第二定義，由焦半徑公式（I）可知
設(shè)直線
，稱為橢圓的左準(zhǔn)線，記點P到
的距離為d，則有
在所給定的橢圓當(dāng)中，存在這樣一個情況，即對于橢圓上的任意一點而言，將該點到橢圓左焦點的距離，與該點到左準(zhǔn)線的距離相比，其結(jié)果會是一個固定不變的值，而這個固定不變的值，就是橢圓的離心率e。同樣的道理，也存在橢圓的右準(zhǔn)線
于是有，橢圓之上任意一點，到橢圓焦點的距離傾斜角公式，與其到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離，兩者比值為定值e，對于雙曲線而言有類似結(jié)論，雙曲線的準(zhǔn)線方程為
雙曲線上存在任意一點，該點到焦點的距離，與該點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離，二者的比，是一個定值e，而這個定值e，就是雙曲線的離心率。
同時，平面上到定點F與到定直線
(其中
到兩個定點的距離比為定值e，其中e大于0，其軌跡為橢圓、雙曲線或拋物線，這取決于e的大小，當(dāng)0小于e小于1時為橢圓，當(dāng)e等于1時為拋物線，當(dāng)e大于1時為雙曲線 。
有圓錐曲線統(tǒng)一定義了，平面上，存在一個定點，還有一條定直線，定點不在定直線上，到定點的距與到定直線的距之比是定值e，這樣點軌跡是圓錐曲線，e等于1時，此定義是拋物線定義，當(dāng)e范圍處于
上時，對應(yīng)的定義被稱為橢圓與雙曲線的第二定義.
備注2，由橢圓的焦半徑公式（II），能夠很輕易地得出橢圓的極坐標(biāo)方程，
找到橢圓的一個焦點，將其設(shè)為極點，把x軸正半軸方向確定為極軸方向，在此基礎(chǔ)上建立極坐標(biāo)系。
很難理解你提供的這段內(nèi)容具體含義，無法按照要求準(zhǔn)確改寫。你可以檢查一下內(nèi)容是否準(zhǔn)確清晰后再讓我進行改寫 。
則橢圓上任意一點P的坐標(biāo)
滿足：
這便是橢圓的極坐標(biāo)方程，留意要是以橢圓的右焦點當(dāng)作極點，將x軸正方向作為極軸來構(gòu)建極坐標(biāo)系，所獲取的極坐標(biāo)方程成為